一、一个例子
核密度估计应该是大家常用的一种非参数密度估计方法，从某种程度上来说它的性质比直方图更好，可以替代直方图来展示数据的密度分布。但是相信大家会经常遇到一个问题，那就是有些数据是严格大于或等于零的，在这种情况下，零附近的密度估计往往会出现不理想的情况。下面以一个指数分布的模拟数据为例（样本量为1000），R程序代码为：
set.seed(123); x=rexp(1000,1); plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2)); lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue"); abline(v=0,col="red");
可以看出，理论上应该单调递减的密度函数在0附近有明显的“陡坡”，而且不应该有密度的小于零的区域也有着正的估计值。当样本量增大时，这种现象也不会得到明显好转，下图是将样本量改为10000时的情形。
set.seed(123); x=rexp(10000,1); plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2)); lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue"); abline(v=0,col="red");
我们也许从平时看的书中了解到，当样本量趋于无穷时，核密度估计值将是收敛到真实的密度函数的，但我们可能不会特意去研究那些结论成立的条件。以上这两个简单的例子似乎给了我们一个直观的感觉，那就是当真实密度函数的支撑集（函数f(x)的支撑集指的是使得f(x)≠0的x的集合）有边界时，核密度估计值可能会出现一些不理想的情况。下面就简单地给出一些理论的结果。
二、理论分析
在一些必要的条件下（真实的密度函数f二阶导绝对连续，三阶导平方可积），核密度估计值$\hat{f}(x)$的偏差有表达式$Bias[\hat{f}(x)]=\frac{h^2\sigma_k^2f”(x)}{2}+O(h^4)$，其中h是带宽，$\sigma_k^2=\int u^2k(u)du$，k(u)是支集为[-1,1]的核函数（即在[-1,1]上有值，其余的地方取零）。可以看出这个偏差是随着带宽h的减小以$h^2$的速度趋于零的。
而假设密度函数以0为边界，那么上述表达式将不再成立，而是代之以
$E[\hat{f}_k(x)]=a_0(x)f(x)-ha_1(x)f’(x)+O(h^2)$
其中$a_i(x)=\int_{-1}^{x/h}u^ik(u)du$。可以看出，当$x \ge h$时，$a_0(x)=1$，$a_1(x)=0$，此时的偏差跟之前的那个表达式没有区别；但当$0 \le x<h$时，$a_0(x)$和$a_1(x)$都是非零的，于是偏差总是存在。
也许你会提议说，将估计值除以$a_0(x)$，偏差就可以减小了吧？的确，这样是一种改进的办法，但也要注意到，此时h的一次项不会消除，也就是说原来$h^2$的衰减速度放慢到了h，从效率上说相对于理想的情况是大打了折扣。
这时候一个巧妙的办法是，用另外一个核函数l(x)对f也做一次估计，那么就有
$E[\hat{f}_l(x)]=b_0(x)f(x)-hb_1(x)f’(x)+O(h^2)$
其中的$b_0$和$b_1$意义类似，只不过是针对l(x)的。
对以上两个式子进行线性组合，则会有
$b_1(x)*E[\hat{f}_k(x)]-a_1(x)*E[\hat{f}_l(x)]=[b_1(x)a_0(x)-a_1(x)b_0(x)]f(x)+O(h^2)$
然后把f(x)的系数移到等式左边，O(h)项的偏差就神奇地消失了。
通过观察核密度估计的表达式，我们可以将上面这个过程等价地认为是对f(x)用了一个新的核函数进行估计，这个新的核函数是
$p(x)=\frac{b_1(x)k(x)-a_1(x)l(x)}{b_1(x)a_0(x)-a_1(x)b_0(x)}$
特别地，如果将l(x)取为x*k(x)，那么p(x)将有一个简单的形式
$p(x)=\frac{(a_2(x)-a_1(x)x)k(x)}{a_0(x)a_2(x)-a_1^2(x)}$
当$x \ge h$时，这个新的核函数p(x)就是k(x)，而当$x \ge h$时（也就是在边界），它会对最初的核函数进行调整。当$x<0$时，不管算出来的估计值是多少，都只需将密度的估计值取为0即可。
三、程序实现
下面这段程序是对本文的第一幅图进行“整容”，代码及效果图如下：
k=function(x) 3/4*(1-x^2)*(abs(x)<=1);
a0=function(u,h)
{
lb=-1;
ub=pmin(u/h,1);
0.75*(ub-lb)-0.25*(ub^3-lb^3);
}
a1=function(u,h)
{
lb=-1;
ub=pmin(u/h,1);
3/8*(ub^2-lb^2)-3/16*(ub^4-lb^4);
}
a2=function(u,h)
{
lb=-1;
ub=pmin(u/h,1);
0.25*(ub^3-lb^3)-0.15*(ub^5-lb^5);
}
kernel.new=function(x,u,h)
{
k(x)*(a2(u,h)-a1(u,h)*x)/(a0(u,h)*a2(u,h)-a1(u,h)^2);
}
den.est=function(u,ui,h)
{
sapply(u,function(u) ifelse(u<0,0,mean(kernel.new((u-ui)/h,u,h))/h));
}
set.seed(123);
dat=rexp(1000,1);
x=seq(0,8,by=0.02);
y=den.est(x,dat,2*bw.nrd0(dat));
plot(x,y,type="l",ylim=c(0,1.2),main="Corrected Kernel");
lines(x,dexp(x,1),col="red");
从中可以看出，边界的偏差问题已经得到了很好的改进。
如果真实的密度函数的支集不是[0,+∞]，而是某一个闭区间[m,n]，那么偏差修正的过程与上面类似，只不过是要将$a_i(x)$定义为$a_i(x)=\int_{(x-n)/h}^{(x-m)/h}u^ik(u)du$。在编程序的时候，也只需把积分的上下限进行相应的调整即可。
四、参考文献
Jeffrey S. Simonoff, 1998. Smoothing Methods in Statistics. Springer-Verlag